打造一个数学头脑需要些什么?

伍德伍德 2017-09-09 18:22 发布于[数据分析]
一系列智力属性缔造了我们搞数学的能力。随着我们的叙述向前展开,我们将逐一察看每一个属性(他们相互之间并非完全独立)。尤其是,我们将反躬自问:我们的祖先是在何时及怎样获得这些能力的,它们又怎样结合起来,造就了数学能力。我们也许还想搞清楚:之所以没有本事去搞数学,是否由于缺少了某种能力,或是问题出在没有把各种能力有效地组合起来,又或是出自什么其他原因。现在,就让我略微说一下这些能力中最重要的几种。

数的意识


人类与其他几种生物拥有数量的意识。我们能够立即认识到一个物体、两个物体与三个物体的集合之间的差异。我们还能认识到,三个物体的集合要比两个物去的集合有着更多的成员。这种意识不是我们学来的,而是生来就有的。

数值能力


数的意识,即区别与比较较小的数的能力,是不需要作为抽象实体的数的概念,也不需要计数的能力。不过,数与计数是学来的东西。(尽管也存在着一些证据表明计数是一种本能。)经过相当的努力之后,可以教会黑猩猩与类人猿一直计数到10左右。但就我们所知,只有人类能把数的序列无限延伸,并对任意大的集合进行计数。


算法能力


所谓算法,就是一系列指定步骤,用以达到一个特定目标,它是数学家采用的类似于蛋糕烘烤法的数学方法。做算术就需要学习对数进行各式各样的操作。数学的其他分支则要求人们把算法应用到其他各种实体上。例如,求解一个二次方程就需要执行一种代数算法。

上述三种属性提供了让我们能够进行算术运算的大部分要素。但一些擅长算术的人也会经常利用其他一些附加属性。例如,小时候学习个九九乘法表时,我感到非常困难(我是整个班级里排在最后几名的“差生”之一) ,但我后来意识到只需要背出一半,然后此事就变得容易了。倘若我知道7×9 =63,那么我就能应用逻辑规则得到9×7的结果。在做乘法时,先后顺序是不重要的,9×7与7×9的结果完全一样。至今 我在计算9×7时仍是先把它倒转成为7×9,然后唤醒我的记忆,得出结果7×9 =63。

可爱猴子分割线

以下的一些属性都将或多或少地影响到一个人的(相对于算术能力来说的)数学能力。

抽象能力


我认为,在处理抽象概念方面的能力局限是搞数学的最大障碍。然而,正如我将要指出的那样,人脑在获取(人人都具备的)语言能力的同时获取了这种能力。因此,大多数人在数学上有困难的原因并不是他们不拥有这种能力,而是他们没有本事把他应用数学中的抽象概念。要想解释清楚情况为什么会演变成这样,是一项有趣的挑战。

因果意识


像其他几种生物一样,人类似乎很早就拥有了这种意识。它对生存的益处是十分明显的。


构建与遵循事实/事件因果链的能力

除了一生的最初几年之外,构建与遵循相当长的因果链看来是人类独有的能力。正如我将要解释的,我们的祖先在掌握语言能力之时,就获取了这种能力。数学家对定理的证明,其实就是事实因果链的高度抽象的形式。

逻辑推理能力


这是一种构建与遵循一步一步的逻辑论据的能力。它同上面那种能力密切关联,也是数学的重要基础。

关系推理能力


数学中有很大一部分是关于各种(抽象)对象之间关系的。我认为,对各种数学对象之间数学关系的推理,实质上无异于对各种现实对象之间现实关系的推理,以及对人与人之间人际关系的推理。由于我们中间的绝大多数人每天都在从事这种推理活动,这就再次产生了一个问题:为什么有如此众多的人认为对数学对象的推理有那么难?


空间推理能力



空间推理能力对许多生物的生存至关重要。这种能力奠定了几何学的基础,它也可以应用到表面上看来同空间无关的一些领域的推理中。实际上,高等数学中的许多重要发现源自数学家发现了一种新奇的用空间方式看待问题的思路。(1994年对费马大定理的证明采用的基本上就是这种方式。)

以上这些心智能力结合起来,就形成了能让我们研究数学的综合素养。而我们对数学能力源头的探寻,可以在很大程度上简化为对上述各种能力起源的探寻。探寻主干便是人类的进化。上面列举的每种能力都需要耗用大脑的能量。(有的还需要付出其他代价。)因此,其对生存带来的益处必然大大超越所付出的代价。在某些情况下,诸如空间推理或因果意识所带来的益处是十分显著的。而在其他情况下,则需要我们进行更深的挖掘。


本文来源:《数学犹聊天》
作者:(美)基斯·德夫林(Keith Devlin)
译者:谈祥柏、谈欣

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伍德 数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯

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